Series finitas e infinitas

Las series son sucesiones ordenadas de elementos que mantienen una relación entre sí. Finito, por su parte, es aquello que dispone de límite o fin.
Como se puede advertir al analizar estas definiciones, una serie finita es una sucesión que tiene final. Esta característica diferencia a las series finitas de las series infinitas, que no cuentan con un fin (y, por lo tanto, pueden extenderse o prolongarse indefinidamente).

De este modo, si tomamos una serie numérica formada por los números positivos pares de un solo dígito, encontraremos que se trata de una serie finita cuyos componentes son 2, 4, 6 y 8. La serie es finita ya que el primer número positivo par es 2 y el último número positivo par de un solo dígito es 8. El resto de los números pares (10, 12, 14…) tienen más de un dígito y, por lo tanto, no corresponden a la serie numérica mencionada.

Las series finitas también pueden ser descendentes. Una serie finita descendente de números positivos múltiplos de 3 que tenga como número más grande al 15 será la siguiente: 15, 12, 9, 6 y 3.

comprobación de series por integrales, Ejemplo:

 serie de potencia, ejemplo:

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma: Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma: En el cual el centro es c, y los coeficientes son los términos de una sucesión.

radio de convergencia, ejemplo:

función de bessel. ejemplo:

tipos de series:

áreas planas  

El área es una medida de extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominada unidades de superficie. El área es un concepto métrico que requiere que el espacio donde se define se especifique una medida.

Para superficies planas, el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un polígono, puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

ejemplo:

área entre dos curvas 

Para encontrar el área de una región entre dos curvas, hay que considerar dos funciones las cuales tiene que ser continuas en los intervalos [a,b]. Si las gráficas están sobre el eje x y la gráfica esta debajo de la gráfica, se puede interpretar geométricamente el área de la región entre las gráficas, es decir restar el área de la función  al área de la función, esto nos dará el área entre 2 curvas en determinados intervalos

ejemplo:

longitud de una curva

La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

ejemplo:

volumen plano

El volumen se encuentra por la rotación de una figura plana (el área de la curva se hace girar en el eje de coordenadas).El eje de rotación bien puede estar ubicado en el eje de coordenadas como en una recta cualquiera.  

 ejemplo:

volumen circular

un cilindro es una superficie de las denominadas cuadráticas formada por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, denominada directriz del cilindro.

Si la directriz es un circulo y la generatriz es perpendicular a él, entonces la superficie obtenida, llamada cilindro circular recto, será de revolución y tendrá por lo tanto todos sus puntos situados a una distancia fija de una línea recta, el eje del cilindro. El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al eje también es llamado cilindro.

 ejemplo:

centroide

El centro de simetría de una figura geométrica es el centroide.

El centroide de un objeto o figura también puede definirse como un punto fijo del grupo de isometria de dicha figura. Para un objeto, figura limitada o región finita el grupo de isometría no incluye traslaciones y en ese caso si el grupo de isometría no es trivial, sus simetrias pueden determinar el centroide.

Sin embargo si para un objeto tiene alguna simetría traslación el centroide no está definido, porque una traslación no tiene ningún punto fijo.

ejemplo:

Calculo Integral 

Integral indefinida:

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

 Integrales por cambio de una variable 

Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, por ejemplo u, llamada variable auxiliar. Luego de esto, se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias, para que ni en el integrando ni en el diferencial, aparezca alguna expresión en términos de la variable original. A esto se le denomina cambio de variable.

Integración por partes

El método de integración por partes está basado en la derivada de un producto  de funciones como se muestra a continuación: d(u.v) = u dv + v du por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si.

Se llama integración por partes, porque la integral se divide en dos partes una u y otra dv. La integral debe estar completa y sin alterar la operación dentro de ella. 

Integrales por sustitución trigonométrica

 Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas. La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.

funciones trigonométricas 

Son aquellas integrales que tienen funciones trigonométricas elevadas a exponentes. Para su mejor comprensión se ha separado en diferentes  casos.

integrales de funciones racionales por fracciones parciales

Las funciones racionales son aquellas que se pueden expresar como cociente de polinomios 

Si el grado del polinomio del numerador es mayor o igual al del denominador se debe primero hacer la división de los dos polinomios, siempre que se integran funciones racionales se integra una fracción cuyo numerador es de grado inferior al del denominador.

Calculo integral

Figuras amorfas

Son aquellas figuras que no tienen forma, porque en realidad todo tiene una forma pero se refiere a que no tiene forma conocida, no es un cuadrado, ni un triángulo ni nada de ese estilo. Es una curva o una figura de muchos lados distintos y deformes y su principal finalidad es encontrar en una gráfica dada su área de la parte de adentro de la figura donde se encuentra el punto dado de la figura. 

Nota de sumatoria

Es encontrar el valor de la ecuación dada respecto a un número determinado por un punto “n” tiende a cualquier numero dado.

Obtención de la nota de sigma

suma de riemann 

La suma de Riemann sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el teorema fundamental de calculo. 

La suma de Riemann consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

Consideremos lo siguiente:

• una función  

donde D es un subconjunto de los números reales  

• I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.

Si P es una partición con n elementos de I,entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

donde x_i-1 ≤ y_i ≤ x_i. La elección de y_i en este intervalo es arbitraria.

Si y_i = x_i-1 para todo i,entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.

Si y_i = x_i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

suma de riemann sin particiones 

Integral definida

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

·     Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.

·  Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función esmenor que cero, su integral es negativa.

·    La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.

·      La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).

·      Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

·       Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

Funcione impropia

Es aquella cuyo intervalo de integración es infinito ya sea de la forma (a, ∞)(-∞,b) o bien     (-∞,∞), pero la función está acotada. Para cada uno de los casos se define

Se dice que la integral es impropia correspondiente es convergente si el límite existe y es finito y es divergente en caso contrario

función primitiva 

Una función primitiva es aquella que después de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su función original 

Se dice que una función f(x) es una primitiva de otra función f(x) sobre un intervalo (a,b) si para todo x de(a,b) se tiene que F(x)=f(x). por ejemplo la función F(x) = x² es una primitiva de de f(x)=2x.