Calculo Integral 

Integral indefinida:

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

 Integrales por cambio de una variable 

Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, por ejemplo u, llamada variable auxiliar. Luego de esto, se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias, para que ni en el integrando ni en el diferencial, aparezca alguna expresión en términos de la variable original. A esto se le denomina cambio de variable.

Integración por partes

El método de integración por partes está basado en la derivada de un producto  de funciones como se muestra a continuación: d(u.v) = u dv + v du por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si.

Se llama integración por partes, porque la integral se divide en dos partes una u y otra dv. La integral debe estar completa y sin alterar la operación dentro de ella. 

Integrales por sustitución trigonométrica

 Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas. La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.

funciones trigonométricas 

Son aquellas integrales que tienen funciones trigonométricas elevadas a exponentes. Para su mejor comprensión se ha separado en diferentes  casos.

integrales de funciones racionales por fracciones parciales

Las funciones racionales son aquellas que se pueden expresar como cociente de polinomios 

Si el grado del polinomio del numerador es mayor o igual al del denominador se debe primero hacer la división de los dos polinomios, siempre que se integran funciones racionales se integra una fracción cuyo numerador es de grado inferior al del denominador.

Calculo integral

Figuras amorfas

Son aquellas figuras que no tienen forma, porque en realidad todo tiene una forma pero se refiere a que no tiene forma conocida, no es un cuadrado, ni un triángulo ni nada de ese estilo. Es una curva o una figura de muchos lados distintos y deformes y su principal finalidad es encontrar en una gráfica dada su área de la parte de adentro de la figura donde se encuentra el punto dado de la figura. 

Nota de sumatoria

Es encontrar el valor de la ecuación dada respecto a un número determinado por un punto “n” tiende a cualquier numero dado.

Obtención de la nota de sigma

suma de riemann 

La suma de Riemann sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el teorema fundamental de calculo. 

La suma de Riemann consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

Consideremos lo siguiente:

• una función  

donde D es un subconjunto de los números reales  

• I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.

Si P es una partición con n elementos de I,entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

donde x_i-1 ≤ y_i ≤ x_i. La elección de y_i en este intervalo es arbitraria.

Si y_i = x_i-1 para todo i,entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.

Si y_i = x_i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

suma de riemann sin particiones 

Integral definida

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

·     Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.

·  Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función esmenor que cero, su integral es negativa.

·    La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.

·      La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).

·      Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

·       Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

Funcione impropia

Es aquella cuyo intervalo de integración es infinito ya sea de la forma (a, ∞)(-∞,b) o bien     (-∞,∞), pero la función está acotada. Para cada uno de los casos se define

Se dice que la integral es impropia correspondiente es convergente si el límite existe y es finito y es divergente en caso contrario

función primitiva 

Una función primitiva es aquella que después de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su función original 

Se dice que una función f(x) es una primitiva de otra función f(x) sobre un intervalo (a,b) si para todo x de(a,b) se tiene que F(x)=f(x). por ejemplo la función F(x) = x² es una primitiva de de f(x)=2x.